基本信息
- 项目名称：
- 翻转全对称矩阵的Schur分解
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本课题从矩阵的行与列的方向来研究矩阵，在已有成果的基础上提出了翻转矩阵、翻转全对称矩阵等概念，讨论了这些矩阵及其相关矩阵的性质，探讨了翻转全对称矩阵的结构形式；并通过矩阵分块研究了其行列式、秩和迹等相关数值特征，研究了这类矩阵的Schur分解及复正规阵分解，给出了其Schur分解的快速算法，将其化成阶数较低的矩阵，从而极大地减少翻转全对称矩阵的计算量与存储量．并得出了一些新的结果。
- 详细介绍：
- 对于矩阵的研究，通常人们是从其主对角线入手，至于次对角线和行列方向的情形常被忽略。但事实上不是主对角线方向的矩阵理论同样是有用的，它们在统计学、系统论、控制论、工程领域的应用问题等方面都有应用。本课题从矩阵的行与列的方向来研究矩阵，在已有成果的基础上提出了翻转矩阵、翻转全对称矩阵等概念，推广和改进了已有对称矩阵的概念，在新概念的基础上建立新的理论，讨论某些矩阵结构形式等新问题，并研究了这类矩阵的Schur分解及复正规阵分解，给出了其Schur分解的快速算法，将其化成阶数较低的矩阵，从而极大地减少翻转全对称矩阵的计算量与存储量．并得出了一些新的结果。
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作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 本课题研究的目的是：进一步拓展和丰富矩阵计算及矩阵分解的某些理论问题，为其它应用性学科的研究和应用提供理论依据和数学工具，同时也进一步完善矩阵的理论问题。 本课题的研究思路是：本课题从矩阵的行与列的方向来研究矩阵，在已有成果的基础上提出了翻转矩阵、翻转全对称矩阵等概念，推广和改进了已有对称矩阵的概念，讨论某些矩阵结构形式等新问题，并研究这些矩阵的Schur分解等问题。
科学性、先进性及独特之处
- 本课题给出了几个新类型矩阵的概念，例如：垂直翻转矩阵、水平翻转矩阵以及翻转全对称矩阵等都是首次提出；讨论了这些矩阵及其相关矩阵的性质，探讨了翻转全对称矩阵的结构形式；研究这类矩阵的Schur分解等问题，得出了一些新的结果。 本课题的独特之处在于通过翻转全对称矩阵结构形式的探讨,不仅得出了这类矩阵的一些性质，更重要的是通过从行与列方向对矩阵的研究找到一类翻转全对称矩阵的分解问题。
应用价值和现实意义
- 众多应用领域中(如信息、控制、工程等)大量出现了关于行，列方向的对称图像（矩阵），因此从行与列方向对矩阵的研究将有比较广泛的应用，起着举足轻重的地位。本课题所提出的翻转矩阵及翻转全对称矩阵是装置矩阵、对称矩阵等多种矩阵的推广。研究这些矩阵的分解可极大地减少其计算量与存储量，使问题的工具更加具体，同时也丰富了矩阵理论。
学术论文摘要
- 本课题从矩阵的行与列的方向来研究矩阵，在已有成果的基础上提出了翻转矩阵、翻转全对称矩阵等概念，讨论了这些矩阵及其相关矩阵的性质，探讨了翻转全对称矩阵的结构形式；并通过矩阵分块研究了其行列式、秩和迹等相关数值特征，研究了这类矩阵的Schur分解及复正规阵分解，给出了其Schur分解的快速算法，将其化成阶数较低的矩阵，从而极大地减少翻转全对称矩阵的计算量与存储量．并得出了一些新的结果。
获奖情况
- 王超．翻转全对称矩阵的Schur分解[J]．韩山师范学院，2011,32（3）：（待发表）．
鉴定结果
- 已录用
参考文献
- [1] 秦兆华．关于次对称矩阵与反次对阵矩阵.西南师范学院学报（自然科学版），1985，（1）：100-110. [2] 秦兆华．矩阵的次转置及实次对称矩阵的次正定性[J]．渝州大学学报，1994，3：14-17． [3] 袁晖坪.亚正交矩阵与亚对称矩阵[J].高等数学研究，2001，4（4）:32-36． [4] 袁晖坪.准正交矩阵与准对称矩阵[J].工程数学学报,2004,21（4）:642-644． [5] 许永平．次对称矩阵及一些结论[J]．四川教育学院学报，1997，13（2）：94-97． [6] 许永平，石小平.正交矩阵的充要条件与O-正交矩阵的性质[J].南京林业大学学报（自然科学版）,2005，29（2）:54-56． [7] 晏能中．论全对称实矩阵的性质[J]．达县师范高等专科学校学报(自然科学版)， 2003，13（2）：3-5． [8] 邹红星，王殿军，等．延拓矩阵的奇异值分解[J]．电子学报，2001，29（3）：289-292． [9] 邹红星，王殿军，戴琼海，等．行（或列）对称矩阵的QR分解 [J]．中国科学（A辑），2002，32(9)：842-829． [10] 王超，刘玉．翻转矩阵及翻转型正交矩阵[J]．高师理科学刊，2011,31（1）：46-49．
同类课题研究水平概述
- 在矩阵理论与应用中，从主对角线出发来研究矩阵的理论与应用占据着相当重要的地位，其理论成果在国内外已相当丰富、相当成熟。但近20多年来一些学者开始从其它方向来研究矩阵的某些问题，例如 从次对角线方向对矩阵研究就已取得了丰富的成果。秦兆华于1985年在文[1] 首先给出次对称矩阵与反次对阵矩阵的概念，讨论了次对称矩阵与反次对阵矩阵的相关性质，通过次对角线的研究，他于1994年在文[2]中提出实次对称矩阵的次正定性的概念，2001年袁晖坪在文献[3]中利用次对称矩阵，给出了亚正交矩阵与亚对称矩阵的概念，它将各类正交矩阵、对称矩阵等统一了起来；他又在2004年于文献[4]中利用次转置矩阵给出了准正交矩阵与准正交矩阵的概念，推广了正交矩阵与反对称矩阵之间的相应结果；许永平在次转置矩阵的基础上，于文献[5]中再次给出次对称矩阵的定义、并补充了次对称矩阵的某些性质，他又在2005年于文献[6] 从另一个角度推广了对称矩阵与次对称矩阵的概念.定义了全转置矩阵等概念，分析了这类矩阵与正交矩阵的关系，得到了正交矩阵的充分必要条件。晏能中于文[7]结合了次对称与对称的特点提出了全对称矩阵的定义，并研究其性质。而对于从行列方向来研究矩阵则起步较晚，邹红星于2001年在文献[8]中首次从行列对称方向首次提出了延拓矩阵的概念，在其基础上并讨论了其性质。2002年邹红星、王殿军，戴琼海，等在文献[9]中对延拓矩阵进行QR分解。给出了行(列)对称矩阵的QR分解算法。使得关于行列方向的特殊矩阵研究又向前推进了一步。 对于从行列方向研究矩阵问题的另一种思路，王超（本文作者）在文[10]中提出了翻转矩阵概念并讨论了这类矩阵的性质，又在文[11]中给出了J-翻转型正交矩阵的概念及某些性质，进而使得上述问题的研究又取得了新的进展。 本课题从矩阵的行与列的方向来研究矩阵，在已有成果的基础上提出了翻转矩阵及翻转全对称矩阵的概念；讨论了这几个概念的基本性质和相关矩阵的性质；并通过矩阵分块研究了其行列式、秩和迹等相关数值特征；研究了这类矩阵的Schur分解及复正规阵分解，给出了其Schur分解的快速算法，将其化成阶数较低的矩阵，从而极大地减少翻转全对称矩阵的计算量与存储量．并得出了一些新的结果。
