- 项目名称：
- 一个新超混沌系统的同步控制研究
- 简介：
- 本文为马有奎、金梦皎、朱海芬三位同学在教师的指导下独立完成的自然科学类学术论文，主要对一个新超混沌系统同步控制做了有限的说明和研究
- 详细介绍：
- 引言
目前，大多数的保密通信系统采用只有一个正的李雅普诺夫指数的简单混沌系统，然而文献[1-3]指出，在用于通信时，这些混沌系统的安全性往往会受到威胁。如使用非线性动力学预测或回归映射等方法，可以重构混沌系统，从而对信息进行解密，这样的混沌通信系统存在保密性弱、易破译的缺陷。含有多个正的李雅普诺夫指数的超混沌系统，可以产生更加复杂的动力学行为，具有更强的不可预测性，从而提高通信的...(查看更多)保密性。而且，目前实际的超混沌保密通讯源较少，因此，人们考虑增加混沌系统的维数，增加系统的复杂程度，从而提高系统的保密性。常用的方法是在已有的三维混沌系统基础上，增加维数，构造四维或高维的混沌或超混沌系统。自从上个世纪六十年代初，美国气象学家Lorenz在研究大气层的热对流问题，发现第一个混沌吸引子之后[4]，Lorenz系统作为一个典型的混沌模型得到了广泛的研究，1999年， Chen在研究混沌反控制方法[2]时成功地实现一个与Lorenz系统相似但非拓扑等价的Chen系统,从而激发了人们对混沌生成的研究兴趣，如Lü系统及统一混沌系统，最近，有人在研究Chen系统与Lü系统的控制过程中发现超混沌Chen系统[5]和超混沌Lü系统[6]。
1990年Pecora和Carroll首次提出混沌同步的思想，并给出了一种有效的方法[7]，随后又在实验中观察到混沌同步的现象，近年来，随着混沌同步研究的不断深入，人们提出了许多混沌同步的方法，如线性耦合法，自适应方法等[8-10]，人们发现它在保密通信和振荡发生器的设计等领域有着巨大的应用前景，混沌同步在许多领域引起了广泛关注与研究[11-13]。
本文基于对Lorenz系统反馈控制的研究，提出一个新超混沌系统，运用相图，Lyapunov指数谱，功率谱,Poincare映射证实该系统在适当的参数条件下处于超混沌状态，然后应用非线性控制方法与非线性耦合法研究了两个恒同的新超混沌系统的同步控制问题，并给出在这两种方法下实现超混沌同步的条件，用Lyapunov方法理论证明了结论，并通过数值仿真证实了控制方法的有效性。
1 超混沌系统模型
考虑经典混沌系统—Lorenz系统：
(1)
其中 ， , , 为系统参数，当 , ， ,时，Lorenz系统处于混沌状态。
要得到一个自治的超混沌系统，必须满足以下条件：
(1)相空间至少为四维，即一阶非线性常微分方程组至少包含四个方程；
(2)在方程组中引起系统不稳定的项的数量至少为两个，其中至少含有一个非线性项。
(3)系统拥有两个正的Lyapunov指数，一个零指数和一个负指数。
我们在对Lorenz系统进行反馈控制的研究时，得到一个满足上述条件的四阶系统：
(2)
其中 ， , ， ， 为系统的待定参数。
当待定参数取 时，此系统处于超混沌状态。新超系统混沌吸引子的x-y 平面和x-u平面相图如图1 所示. 由混沌理论可知, 在状态空间混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势, 并以指数速率相互分离, 而Lyapunov 指数是定量描述轨线收缩或扩张的量. 运用Wolf方法[14]计算得系统(2)具有两个正的Lyapunov指数，其指数分 ， 。运用数值仿真可得该系统的Poincare映射以及最大的三个李雅普诺夫指数谱如图2所示，由此可知系统(2)在待定参数 时为超混沌系统。
(a)
(b) (c)
(d) (e)
图1 超混沌吸引子(a)相图 ;(b) 相图 ;(c)相图 ;(d)相图 ;(e)相图
Fig1. Hyper-chaotic attractor of system (2)
(a)Lyapunov指数谱 (b)Poincare映射
图2 超混沌系统(2)的非线性特征
Fig2. Nonlinear character of hyper-chaotic system (2)
2 超混沌同步
2.1非线性激活控制同步
对于新混沌系统(2),驱动系统定义为
（3）
响应系统为
（4）
其中参数 , ， ， ，且 为控制函数，令误差变量为 ,则得到下列误差系统
（5）
定义激活控制函数[9]为
（6）
选择控制输入 ， ， ， 为
（7）
其中 。
由于闭环系统的特征根分别为-1，-1，-1，因此当 时，误差变量 都收敛于零，这就意味着两个系统（2）能够实现混沌同步。
2.2非线性反馈控制同步
对于新混沌系统(2),驱动系统定义为
（8）
构造响应系统
（9）
其中 ， ， ， 为未知反馈控制函数。
定理1：考虑驱动系统（8）与响应系统（9），并取反馈控制函数
， ， ，
（10）
若 满足条件
（11）
则驱动系统（3）与响应系统（8）实现混沌同步。
证明：令 ， ， ， 并按上述方法取反馈控制函数 ， ， ， 。由（9）和（14）可得：
（12）
根据李雅普诺夫第二方法[10]，构造一个正定的李雅普诺夫函数 ，则有
若 满足不等式（11），则上式右边 ， 和 的系数小于零，且 ，根据李雅普诺夫第二方法可知，误差系统在零点是稳定的，且 将以指数率收敛到零。即驱动系统（8）与响应系统（9）实现混沌同步。
2.3非线性耦合同步
先将系统(3)写成矩阵形式如下：
(14)
其中 ， ， 。
考虑下列与系统(14)耦合的系统：
(15)
其中 为耦合矩阵，当耦合矩阵 为常值矩阵，则称系统(14)与(15)是线性耦合的；当耦合矩阵 中取含有状态变量的矩阵函数时，则称系统(14)与(15)是非线性耦合的。
根据(14)与(15)可得它们的误差系统为：
(16)
其中 ， ，
。
系统(14)与(15)的非线性耦合同步是指在耦合矩阵为含状态变量的矩阵函数时，当 时，系统误差 ，即 。
取耦合矩阵含状态变量的函数矩阵为
，其中 为可调节参数，即这时系统(14)与(15)是非线性耦合的。
则可得误差系统(16)为：
(17)
其中 。
由此可见，矩阵 为反对称矩阵，则有： ，其中
根据李雅普诺夫第二方法，构造一个正定的李雅普诺夫函数 ，则有：
其中
(13)
要使矩阵 为正定矩阵，可调节参数 必须满足以下条件：
(i)
(ii)
(iii)
(iv) （14）
由于可调节参数 ，为了方便，取 ，条件(i)和(iii)恒成立，即只要可调参数 满足：
， (15)
此时矩阵 为正定矩阵， 则 ，即 为负定，根据李雅普诺夫第二方法可知，误差系统在零点是稳定的，即对于任意的初始条件 ，均有 。
于是有以下定理：
定理2：当系统(10)中取耦合矩阵为 且 满足条件(15)时，非线性耦合系统(9)与(10)是全局渐进稳定同步的。
3 数值仿真
在下列仿真实验中系统参数 ，驱动系统的初始值均取为为 ，响应系统的初始值均取为为 ，则误差系统变量的初始值为 ，各方程均运用四阶Runge-kutta法求解，选择步长 。
图3 (a1)和(a1)给出了系统(3)与(4)在非线性反馈控制前后的 的时间序列，(b1)和(b1)给出了系统(3)与(4)在非线性反馈控制前后的 的时间序列，由图很清楚地看到新超混沌系统通过非线性控制实现了超混沌同步。
图4给出了非线性耦合系统的误差衰减情况，达到超混沌系统同步速度十分快，可见非线性耦合方法对于实现超混沌系统同步是很有效的。
(a1) (a2)
(b1) (b2)
图3 非线性反馈控制下的时间序列 ,
Fig3. Time series of feedback controlled synchronization
(a) (b)
图4 非线性耦合控制超混沌同步的误差图
Fig4. The errors of nonlinearly coupled hyper-chaotic synchronization
4.结论
混沌同步是混沌通信的关键问题，它是实现混沌通信的基础。本章主要就混沌同步方法进行了分析和讨论，并采用了不同同步方法实现超混沌系统的同步。此运用非线性反馈控制和非线性耦合同步方法对新超混沌系统进行同步控制，运用理论证明与数值模拟进行验证同步控制方法的有效性。经过分析可得，非线性反馈同步控制方法与非线性耦合同步控制方法具有很好的可实现性与实用性，在工程实际领域中具有广泛的应用前景。由于对同步建立时间和对混沌系统参数变化的鲁棒性而言，非线性反馈与非线性耦合同步方法比其他同步方法具有优势，并对于研究混沌通信等方面具有很重要的意义。
参考文献：
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(收起)
