基本信息
- 项目名称：
- 具有Beddington-DeAngelis型功能性反应和控制的捕食者-食饵系统四个正周期解的存在性
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本文作者利用重合度理论中的延拓定理，研究了具有Beddington-DeAngelis型功能性反应函数以及控制项的捕食者-食饵模型周期解的情况，其中构造了两次同伦来简化定理中Brouwer度的计算，最终得到了该模型具有四个正周期解的充分条件。
- 详细介绍：
- 研究种群的增长情况是一个古老的课题，它有助于把握种群的数量状态以调整资源配置。在现实的生态学系统中，用具有Beddington-DeAngelis型功能性反应函数的捕食者-食饵方程来刻画两个捕食与被捕食关系的种群密度增长情况具有一定的合理性。最近几年在对捕食者-食饵模型周期解的存在性所取得的重大成果中大部分都是源自增加控制项取得的。他们不仅研究了周期解的存在性，还确定了周期解的个数，这也很贴近生物学事实：随着环境的变化生物种群的密度也会在产生不同的变化。本文研究的就是具有控制项的Beddington-DeAngelis型功能性反应函数的捕食者-食饵模型周期解的情况。对于这类问题，研究的基本方法是利用重和度理论中的延拓定理，而主要过程就是按照定理的条件，逐一构造相应的集合、映射、含参数的方程，并计算对应方程的Brouwer度，从而确定其具有的周期解个数。在本文中同样遵循这样的研究思路和方法，但是不同之处是在计算Brouwer度时，为了简便计算，接连构造了两次同伦映射连来简化计算（Brouwer度具有同伦不变性）。最终，在本文的定理2.1中给出了该捕食者-食饵模型具有两个正周期解的充分条件。
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 在实际生态学系统中，我们用具有Beddington-DeAngelis型功能性反应函数的捕食者-食饵方程来刻画两个捕食与被捕食关系的种群密度增长情况，由于人为的控制因素或多或少客观存在，因此有必要引入控制项。本文目的是研究加入什么样的控制项后方程仍具有周期解及其个数情况。根据重合度理论中的延拓定理，本文逐一验证定理条件，构造相应的算子、集合，在验证与构造中得到其具有四个正周期解的充分条件。
科学性、先进性及独特之处
- 由于在现实的种群状态中，人们往往不仅对食饵有控制作用，而且对捕食者也有一定的控制，所以添加两个人为的控制项更符合实际情况。因而可以得到系统具有四个正周期解的充分条件。得到其具有四个正周期解的结论，也比较符合某些种群在一年四季有不同增长状态的事实。在Brouwer度的计算中，接连使用两次同伦变换以简便运算，其中的构造非常巧妙。
应用价值和现实意义
- 本文的结论是得到了其具有四个正周期解的充分条件，在实际生活中，就意味着得到了在什么样的控制下可以让系统有较为符合人们意愿的种群状态，达到最好的控制，以调节资源配置。
学术论文摘要
- 本文利用重合度理论中的延拓定理，讨论了带控制项的Beddington-DeAngelis型功能性反应函数的捕食者-食饵模型周期解的情况，最终得到了该模型具有四个正周期解的充分条件。
获奖情况
- 无
鉴定结果
- 无
参考文献
- [1]H.Baek,A food chain system with Holling type IV functional response and impulsive perturbations,Comput.Math.Appli.60 (5)(2010)1152-1163 [2]S.B.Hsu,T.W.Hwang,Y.Kuang,Global dynamics of a predator-prey model with Hassell-Varley type functional response,Disc.Cont.Dyn.Sys.,B,10(2008)857-871. [3]D.S.Tian,X.W.Zeng,Existence of at least two periodic solutions of a ratio-dependent predator-prey model with exploited term, Acta.Math.Appl.Sin.English.Ser. 21(3)(2005)489-494. [4]D.Ye,M.Fan,Periodicity in impulsive predator-prey system with Holling III functional response,Kodai Mathematical Journal,2004,27(3)189-200. [5]Z.Q.Zhang,X.S.Xiong,The existence of eight positive periodic solutions for a generalized prey-predator system with delay and stocking, Quarterly of Applied Mathematics,65(2)(2007)317-337. [6]Z.Q.Zhang,Z.T.Hou,Existence of four Periodic solutions of a ratio-dependent predator-prey system with multiple exploited (or harvesting) terms, Nonlinear Anal.RWA,11(2010)1560-1571.
同类课题研究水平概述
- 当前对具有控制项（或者捕获利用项）的种群系统的周期解的存在性问题已有一些文献，但是在已有文献中，大部分作者只研究了食饵种群或者捕食者种群受控时的周期解的存在性情况，而对两者同时受控的种群系统的文献尚不多见。而实际上，人类对种群系统的开发利用或调节作用是多方面的，也就是对捕食者和食饵两个种群都有调节作用，因此本作品的研究更具有实际意义。另外，在利用延拓定理证明四个周期解的存在性时，连续两次构造了同伦，相比于已有文献中利用一次同伦便可得到结论的情况要复杂很多，因此，从理论上而言，本作品的研究更具有一定的挑战性。
