基本信息
- 项目名称：
- 关于Feigenbaum型泛函方程的C1解
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 上个世纪70年代,美国物理学家Feigenbaum首先发现在倍周期分岔传递到混沌的过程中,具有惊人的数量普适现象。1985年,张景中院士等提出并解决了第二类Feigenbaum函数方程的C0解,本文通过构造一个与文献[1-6]完全不同结构算子，利用泛函分析中Schauder不动点定理、Banach不动点定理、研究了一个紧区间上Feigenbaum型泛函方程非扩张形式的C1解的存在唯一性。
- 详细介绍：
- 上个世纪70年代,美国物理学家Feigenbaum首先发现在倍周期分岔传递到混沌的过程中,具有惊人的数量普适现象(即所谓的Feigenbaum现象)。为解释这一现象,Feigenbaum提出许多假设,其中一个重要的假设是如下的函数方程f(x)=-f(f(-x/a))存在解的假设。该方程引起众多领域的科学家的极大兴趣,他们在这方面也取得了丰硕的研究成果.包括Feigenbaum函数方程解的存在性,各类连续的、可微的甚至光滑的解的构造,以及Feigenbaum映射的一些动力性态等。1985年,杨路和张景中院士提出了第二类Feigenbaum函数方程f(x)=1/af(f(ax)),其中0<a<1,f(0)=1,(1.1)他们研究了上述方程(1.1)在区间[0,1]上具有初值条件的单峰连续解，同时也在特殊的函数空间里面讨论了它的精确解。当然，从动力系统的研究来看，这领域的研究有非常重要的理论意义.考虑到这是个迭代方程，除了定量研究以外，利用泛函分析的相关理论作定性研究将更具理论价值，而且我们研究了这个类型的方程的光滑解，获得的结果包含了已有的结论，拓宽了这一类型的方程的研究领域。 本文通过构造一个与文献[1-6]完全不同的全新的结构算子，利用泛函分析中的Schauder不动点定理、Banach不动点定理、自同胚和紧凸子集的相关性质研究了一个紧区间段[a,b]上第二类Feigenbaum型非线性迭代方程的非扩张形式的解的相关性质，其中f(x)和g(x)是区间[a,b]的可微函数 。获得了该方程的非单调连续可微解的存在性和唯一性。
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作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 本文通过构建一个新的结构算子，利用Schauder不动点定理、自同胚和紧凸子集的相关性质来研究第二类Feigenbaum型非线性迭代方程的非扩张形式 在一个紧实区间段[a,b]的连续可微解的存在性和唯一性，获得的结果推广了已有的结论，并为这一领域的研究提供了一个新思路。
科学性、先进性及独特之处
- 考虑到所研究的是第二类Feigenbaum非线性迭代方程的非扩张形式，本文通过先构造一个函数空间及其上的非线性算子T ，证明算子T是一个Banach空间上的一个连续自映射，由泛函分析中的Schauder不动点定理、Banach不动点定理、获得了方程的非单调连续可微解的存在性和唯一性。我们研究这个类型的方程的光滑解，获得的结果都是全新的，具有较大的理论价值和学术价值。
应用价值和现实意义
- 近年来随着迭代理论的进一步深入，迭代方程的研究在许多学科研究中越来越受到重视，引起了信息科学、电子工程等领域众多学者们的关注。大量物理、生物学以及天文学问题的数学模型都是有连续和离散的迭代过程描述。研究映射迭代描述的离散运动是现代动力系统的重要课题，因此对第二类Feigenbaum非线性迭代方程的非扩张形式的解的定性研究将丰富这一领域的研究方向，获得的结果都是全新的。
学术论文摘要
- 本文利用Schauder不动点定理、自同胚和紧凸子集的相关性质研究Feigenbaum型泛函方程的连续可微解的存在性和唯一性。
获奖情况
- 该作品获广东省第十一届“挑战杯”大学生课外学术科技作品竞赛特等奖，并且已发表在我校学报（自然科学版）上，奖项等证明参见附加材料。
鉴定结果
- 本课题是由我院2008级数学与应用数学专业***等三个同学在指导教师的指导下独立完成的，申报者的申报情况和作品内容真实可靠。
参考文献
- [1]Epstein H. New proofs of the existence of the Feigenbaum function. Comm.,Math phys.106:395-426(1986). [2] Mestel B D.Osbaldestin A H.Tstgvintsev A V. Continued fractions and solutions of the Feigenbaum-Cvitanovie equation. C R Acad Sci Paris.334:683-688 (2002).
同类课题研究水平概述
- 上个世纪70年代,美国物理学家Feigenbaum首先发现在倍周期分岔传递到混沌的过程中,具有惊人的数量普适现象(即所谓的Feigenbaum现象)。为解释这一现象,Feigenbaum提出许多假设,其中一个重要的假设是如下的函数方程f(x)=-f(f(-x/a))存在解的假设。该方程引起众多领域的科学家的极大兴趣,他们在这方面也取得了丰硕的研究成果.包括Feigenbaum函数方程解的存在性,各类连续的、可微的甚至光滑的解的构造,以及Feigenbaum映射的一些动力性态等。1985年,杨路和张景中院士提出了第二类Feigenbaum函数方程f(x)=1/af(f(ax)),其中0<a<1,f(0)=1,(1.1)他们研究了上述方程(1.1)在区间[0,1]上具有初值条件的单峰连续解，同时也在特殊的函数空间里面讨论了它的精确解。当然，从动力系统的研究来看，这领域的研究有非常重要的理论意义.考虑到这是个迭代方程，除了定量研究以外，利用泛函分析的相关理论作定性研究将更具理论价值，而且我们研究了这个类型的方程的光滑解，获得的结果包含了已有的结论，拓宽了这一类型的方程的研究领域。 本文通过构造一个与文献[1-6]完全不同的全新的结构算子，利用泛函分析中的Schauder不动点定理、Banach不动点定理、自同胚和紧凸子集的相关性质研究了一个紧区间段[a,b]上第二类Feigenbaum型非线性迭代方程的非扩张形式的解的相关性质，其中f(x)和g(x)是区间[a,b]的可微函数 。获得了该方程的非单调连续可微解的存在性和唯一性。获得的结果推广了已有的结论，并为这一领域的研究提供了一个新思路
