基本信息
- 项目名称：
- 两类正项数列的研究
- 来源：
- 第十一届“挑战杯”国赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 阶乘是数学的一个重要内容,数学分析、数论、及组合数学等都有重要的应用。目前,学者们在n!与n的幂指之间的关系方面展不断地加深展开研究，此问题对n!较准确估计在数值计算及对解决有关n阶乘数列极限问题大有用途,对此本文改进和推广了现有的文[7]-[15]的相关结论,并利用n!与n的幂指关系式求解了若干有关n阶乘的数列极限问题. 单调有界原理是证明数列极限存在的重要工具.涉及a(n)的1/n次方正项数列的单调有界性的文献较多.本文就此给出a(n)的1/n次正项数列单调有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推广,并改进和推广了现有的文[16]-[21]的相关结论.
- 详细介绍：
- 阶乘是数学的一个重要内容,数学分析、数论、及组合数学等都有重要的应用。目前,学者们在n!与n的幂指之间的关系方面展不断地加深展开研究，此问题对n!较准确估计在数值计算及对解决有关n阶乘数列极限问题大有用途,对此,本文得到了n!与n的幂指之间的关系不等式,得到了Stirling公式的一个变换形式,之后对其参数进行了讨论,得到了其参数的单调性和估计式,改进和推广了现有的相关结论,并利用n!与n的幂指关系式求解了若干有关n阶乘的数列极限问题. 单调有界原理是证明数列极限存在的重要工具.在涉及a(n)的1/n次方正项数列的单调有界性的文献较多.本文就此给出其单调有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推广.
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作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 本文首先给出了一系列新的n!与n的幂指之间的关系不等式,得到了Stirling公式的一个新变换形式,之后对其参数的估计式进行了讨论,改进和推广了文[7]-[15]的相关结论,并利用n!与n的幂指关系式求解了若干有关n阶乘的数列极限问题.另外,本文还研究了一类正项数列.给出其单调有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推广,并改进和推广了文[16]-[21]的相关结论.
科学性、先进性及独特之处
- 本文给出了一系列新的n!与n的幂指之间的关系不等式及Stirling公式的一个新变换形式,改进和推广了文[7]-[15]的相关结论,并利用n!与n的幂指关系式求解了若干有关n阶乘的数列极限问题.另外,本文还给出一类a(n)的1/n次方正项数列单调有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推广,并改进和推广了文[16]-[21]的相关结论.
应用价值和现实意义
- 阶乘是数学的一个重要内容,数学分析、数论、及组合数学等都有重要的应用,本文给出了一些新的阶乘不等式,在实际应用计算中对n!较准确的估计,在实际应用中简单解决较繁难的有关n阶乘数列极限问题,免除特别心思构想而单调有界原理是证明数列极限存在的重要工具。本文又研究了一类a(n)的1/n次方正项数列的单调有界性,利用其性质并能简单解决涉及此类的实际问题。
学术论文摘要
- 本文研究了两类正项数列:n！和a(n)的1/n次方数列.对于第一个数列,本文得到了n!与n的幂指之间的关系不等式,得到了Stirling公式的一个变换形式,之后对其参数进行了讨论,得到了参数的单调性和估计式，改进和推广了现有的相关结论,并利用n!与n的幂指关系式求解了若干有关n阶乘的数列极限问题.对于第二类数列，本文给出其单调有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推广.
获奖情况
- 本校学报(自然科学版)编辑部已审核同意2009年第三期发表。作品荣获校级挑战杯课外学术科技作品竞赛一等奖。
鉴定结果
- 作品创作情况属实，同意推荐！ 校专家评审意见:该文写作规范，证明正确，有一定的科学价值。建议给予一等奖励。
参考文献
- [2] 郭常超.Stirling公式的证明综述[J].许昌学 院学报,2008,27(02):138-142. [4] KnoppK.Theory and application of infinite Serie[M].Blackie&SonLimited(London),1928.531-541. [5] Hsu L C.Anew constructive proof of the Stirling formula[J].J Math Res And Expo,1997,17(1):5-7. [6] Hsu L C and X N Luo.On a two-sided inquality involving Stirling’s formula [J].J Math Res And Expo,1999,19(3):491-494. [7] 赵岳清.Stirling公式参数θ的一个精确估计[J].佳木斯大学学报(自然科学版),2005,23(03):331-334. [8] Robbins H.A remark on Stirling’s formula[J].Amer.Math.Montly,1955,62:26-29. [9] 曹景天.一种级数求和方法及其几个推论[J].数学的实践与认识,1990,20(2):77 - 84. [10] 仲崇新.二项概率和超几何概率的近似计算及其误差[J].数学的实践与认识,1991,21(1): 55-61. [12] 彭求实.Stirling公式的改进及二项分布概率的近似计算[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2006,22(4):101-103+109. [19] 孙建设.数列 的单调有界性及其极限[J].高等数学研究,2004,7(01):45-48. [20] 张国铭.一个不等式的两个简捷证明[J].高等数学研究,2008,11(03):6-7. [21] 孙秀亭.Minc—Sathre不等式的推广[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2006,23(02):114-116.
同类课题研究水平概述
- 著名的Stirling公式[1-2]:(1)但(1)式证明比较复杂且其参数没有显式表达式.由(1)式我们还可得到:(2).事实上,(2)式本身也可给出一个独立的简单证明[3]且其得到的时间比(1)式早.目前,学者们在n!与n的幂指之间的关系方面展开的研究得到了较好的结果.1928年,Knopp[4]利用Euler-Maclaurin公式,得到如下估计式:(3)、(4).其中B(2j)为Bernoulli数.1997年,徐利治教授等[5]建立了一个等式:(5),并于1999年在(5)式的基础上得到不等式[6]:(6),其中常数0.5是最佳的.2005年赵岳清[7]改进了(6)式,得到当n>=1时,有(7),其中常数293/720是最佳的. 本文在以上学者工作的基础上给出一系列新的n!与n的幂指之间的关系不等式,并得到如下公式:(8).其中(8)中的参数关于n严格单调下降,并成立下面的估计式:设N是满足B的正整数,常数a满足0<a<B,则当n>=N时,有(9).(9)式也是(7)式的一个改进和推广. 对于Stirling公式(1)中的参数,有很多学者进行了讨论和研究.1955年,Robbins[8]给出(10).1990年,曹景天[9]利用一种级数求和的方法将(10)加细为(11).1991年,仲崇新[10]又将(11)改进为(12).1997年,彭求实[11-12]应用级数理论改进(10)至(12)中参数的上界,得到(13). 本文在上面工作的基础上得到:当n>=1时,(1)中的参数严格单调上升,满足不等式(14)且有精确式表达式(15).另外,本文得到的n!与n的幂指之间的一些关系不等式也是文[14]-[15]中的有关结论的推广.最后我们利用它们求解了若干有关n阶乘的数列极限问题. 著名的Minc-sathre不等式[16-21]:(16).文[19-20]给出(17).文[21]又将(16)式和(17)进行了推广:若a(n)是等差数列,首项为a(1),公差为d,且a(1)>d>0,则成立(18),(19). 本文在此基础上给出了一系列a(n)的1/n次方正项数列的单调性的判定定理.我们将前述文[21]的结论改进和推广,这一结论视为为文[16]-[21]中相关结论的推广.
