基本信息
- 项目名称：
- 零点状态函数与极限环
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 该论文主要讲述的是通过研究特定二次系统的状态函数的零点个数来确定二次系统极限环的个数的方法。
- 详细介绍：
- 我们知道二次系统中极限环的研究和函数零点研究方法类似。在本论文中，我们考虑Lienard方程 , ，给出方程的一个状态函数并且研究其零点。最后，我们得到这个函数的极限环的存在唯一性。
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 著名数学家D.Hilbert于1900年在国际数学家大会上提出了二十三个数学难题，其中第十六个问题就是n次系统最多有几个极限环以及它们的相对位置，能否计算出极限环个数的上界。20世纪80年代史松龄和陈兰荪举出了平面二次系统至少存在四个极限环的例子，破除了平面二次系统极限环个数的上界是3的传统猜测,本文找到了一个状态函数，可以通过判断状态函数的零点个数来确定2次系统极限环的个数。
科学性、先进性及独特之处
- 本文给出了一个状态函数，可以通过判断状态函数的零点个数来确定2次系统极限环的个数。传统的证明极限环的证明都使用Poincaré-Bendixson环域定理.讨论极限环的存在性问题关键就是要在平面上做出环域的内外境界线，使得在境遇线上系统的向量场，当时间参数增加时，都由环域的外（内）部指向内（外）部，并且在环域中无奇点。但是内外境界线很难做。本文方法具有首创性，而且简单实用。
应用价值和现实意义
- 传统的证明极限环的证明都使用Poincaré-Bendixson环域定理.讨论极限环的存在性问题关键就是要在平面上做出环域的内外境界线，但是内外境界线很难做。本文给出了一个状态函数，可以通过判断状态函数的零点个数来确定2次系统极限环的个数。本文把极限环的判断问题化成求解方程F（x）=0根的问题，这样我们就可以用数值计算的方法研究极限环了，开辟了极限环研究的新方法
学术论文摘要
- 本论文中讨论了二次系统，给出方程的一个状态函数并且研究其零点。二次系统中极限环的研究方法和函数零点研究方法具有相似性。例如，庞加莱-本迪克松的环域类似于问题：如果连续函数Φ (x)满足在区间[a,b]上变号，一定存在零点，二次系统中极限环的研究方法和函数零点研究方法具有相似性。本文给出了用函数的方法解决部分特殊的二次系统的极限环的问题
获奖情况
- 大连理工大学第八届攀登杯一等奖 辽宁省挑战杯二等奖
鉴定结果
- 辽宁省挑战杯二等奖
参考文献
- [1] 叶彦谦 , 《极限环论》 (第二版)， 上海科技出版社，1984. [2] 张芷芬, 《微分方程定性理论》, 北京大学，1979. [3] 张锦炎, 《几何理论与常微分方程分支问题》，北京大学，1981. [4]陈秀东, Lienard方程极限环存在性定理, 《数学研究与评论》，1992,2（4）
同类课题研究水平概述
- 本文给出的方法在研究极限环的存在性和个数上有创新意义，国内外还没有其他的学者使用这个方法，本方法如果和数值代数结合，可以对极限环的判断和二次系统极限环个数的确定有重大的价值。
