基本信息
- 项目名称：
- 一类粘性双组份浅水波方程的整体吸引子
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本作品考虑周期边界条件下带粘性项的双组份Camassa-Holm方程、粘性耦合Camassa-Holm方程及耦合非齐次Camassa-Holm方程的整体解、吸收集和吸引子存在性问题。运用Galerkin方法得到了粘性双组份Camassa-Holm方程的唯一整体解；利用Sobolev插值不等式以及关于时间的先验估计证明了该方程吸收集存在性；证明方程的解半群是一个紧算子；得到了方程整体吸引子的存在性。
- 详细介绍：
- 本作品研究几类双组份色散浅水波方程：双组份Camassa-Holm方程、新型耦合双组份Camassa-Holm方程、耦合非齐次Camassa-Holm方程等的整体吸引子问题。这几类方程是当前国际上非线性水波研究的热点。通过研究方程的整体吸引子的存在性和渐近光滑性揭示 时解的性态问题。取得的成果对逐步揭示由非线性浅水波方程所刻画的非线性现象发生机理和内在规律有重要意义，将丰富浅水波方程理论。有关研究工作将填补这一新领域的空白，研究工作水平处于国际前沿。 研究粘性双组份的CH 方程和粘性新耦合的双组份CH 方程整体解、吸收集及吸引子的存在性，首先要证明初边值问题解的存在性，拟采用Galekin方法来逼近非线性方程，利用正交投影将原来的偏微分方程化成一个常微分方程组的边值问题，通过做内积、运用Sobolev插值不等式、Gronwall不等式、Young不等式、Poincaré不等式得到两个变量的一致先验估计，得到它们本身及各阶范数有界，即短时间区域上有唯一解。在得到原方程的近似解之后再说明该近似解收敛于原方程的解。然后证明在T趋于无穷时解仍然是有界的，并存在吸收集，最后利用等度连续、紧嵌入定理、AscoliArzela定理及偏微分方程的知识得到整体吸引子的存在性。
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 关于浅水波方程相关性质的研究是目前国内外数学物理界关注的热点问题之一。讨论浅水波方程解的相关性质（特别是方程的Cauchy问题的局部适定性、解的整体存在性及爆破现象，稳定性、散射与反散射问题、Riemman问题、动力学行为）并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象、确定物理材料属性等方面均具有极大的应用价值。
科学性、先进性及独特之处
- 本作品给出带粘性项的双组份CH方程和耦合双组份Camassa-Holm方程在周期初边值问题下吸引子的存在性，将原来一个变量的研究推广至两个变量的研究，难度增加了。将此偏微分方程化成一个常微分系统，利用常微分方程组的存在理论来研究解的整体存在性。得到 空间上两个变量关于时间的一致先验估计，得到两个变量及其各阶范数有界，并找到吸收集，进而得到其整体吸引子的存在性。本作品的研究将是新的尝试。
应用价值和现实意义
- 研究非线性色散波方程的极限行为，有助于弄清不同波方程之间潜在的相互联系，为研究一般度量下散射理论的建立及孤立子存在问题提供了新的研究途径。有关研究成果的理论可以应用于与非线性色散波方程相关的问题中，如等离子体物理、凝聚态物理、光孤子通讯、流体等。丰富了现有的研究成果，有助于人们更好地认识这些方程所刻画的物理现象和该方程潜在的应用价值。
学术论文摘要
- 本作品主要考虑在周期边界条件下带粘性项的双组份Camassa-Holm方程、粘性耦合Camassa-Holm方程及耦合非齐次Camassa-Holm方程的整体解、吸收集和吸引子存在性问题． 本作品主要采用Galerkin方法, 所讨论的方程均含有两个变量. 在考虑解半群的吸引子存在性的过程中，我们要同时对这两个变量进行考察. 需要使用索伯列夫空间理论、偏微分方程相关知识、Fourier限制范数和算子、双线性估计、能量方程与正交分解相结合等相关理论、方法和技巧． 第一章介绍研究背景、现状及本文主要工作． 第二章介绍了研究过程中需要的基本理论，基本概念等． 第三章首先运用Galerkin方法得到了粘性双组份Camassa-Holm方程的唯一整体解存在于 中；接着利用Sobolev插值不等式以及关于时间 的先验估计证明了该方程在 空间上吸收集的存在性；然后证明方程的解半群 是一个紧算子；最后得到了双组份Camassa-Holm方程整体吸引子的存在性． 第四、五章分别研究了粘性耦合Camassa-Holm方程、耦合非齐次Camassa-Holm方程的吸引子的存在性．
获奖情况
- 无
鉴定结果
- 无
参考文献
- [1] Ming Chen, Siqi Liu, Youjin Zhang. Lett. Math. Phys. 2006(75): 1-15 [2] Lixin Tian, Ying. Gao. Nolinear Anal. 2009 (11)：5176-5186 [3] Lixin Tian, Ruihua Tian, Jinling Fan. International Journal of Nonlinear Science. 2008 (1): 3-10 [4] Danping Ding, Lixin Tian. 2004 (27): 536-545 [5] Wenxia Chen, Lixin Tian, Xiaoyan Deng. Nonlinear Anal: Real Word Appl. 2009 (3):1822-1837 [6] A. Constantin, R. Ivanov. 2008(372): 7129-7132 [7] Boling Guo, Linge Yang. Math Mech Appl Sci. 1994(19):131-144 [8] Jingjing Liu, Zhaoyang Yin. Journal of Mathematical Analysis and Applications. doi:10.1016/j.jmaa.2010.09.059 [9] Lixin Tian, Chunyu Shen, Nonlinear Anal. RWA. 2009 (10): 519-530 [10] J. Escher, O. Lechtenfeld, Zhaoyang Yin. Discrete Contin. Dyn. Syst. 2007(19): 495-513
同类课题研究水平概述
- 关于双组份CH方程的相关研究工作已经出现不少：屈长征、尹朝阳、张平正等分别研究过双组份的CH方程的局部适定性，解的整体存在性和爆破现象，给出方程强解的爆破结果。Popowicza等研究双组份的及超对称的双组份CH方程。Keivan Mohajer指出双组份CH方程的行波解的光滑方程由CH方程行波解提供的集合分布，它是一个零测量，从而研究得出双组份CH方程有不同于CH方程的光滑行波解且当测量 不为零时还有新的分布解；关于双组份CH方程的孤波、扭波和反扭波解、无穷碎波解、光滑和非光滑周期波解的存在性在不同的参数条件和不同的必要条件下已得到讨论，并给出了行波解的准确明了的参数表现形式。目前，关于双组份CH方程的散射反散射问题，初边值问题，Cauchy问题的低正则解，Riemman问题，高阶双组份CH方程的Cauchy问题的适定性，以及加耗散项的双组份CH方程的整体吸引子，惯性集方面的问题有待解决。 关于新型耦合双组份CH方程，目前已经得到其局部适定性及爆破解，给出在有限时间内存在具有奇异性的强解的条件，证明了局部弱解的存在性，但关于它的Cauchy 问题、散射反散射问题、长时间动力学行为以及整体吸引子、惯性集方面的问题有待解决。本作品将对其作出新的尝试。 另外，田立新等探究了弱阻尼Korteweg-de Vries方程，给出了低模态下该方程近似惯性流形的约化形式，并作了数值分析，有关数值分析结果与非线性谱分析结果类似；2002年，Olivier Goubet和Ricardo M.S. Rosa研究了弱阻尼Korteweg-de Vries方程，在实直线上得到了该方程的渐近光滑的整体吸引子； 06年丁丹平和田立新研究了Camassa-Holm方程的动力学行为，证明了色散Camassa-Holm方程整体解的存在性，并得到了在 空间上其解半群整体吸引子的存在性；07年，田立新等人研究了带粘性项的类方程、证明了在 上一维粘性受迫弱阻尼 Korteweg-de Vries方程的整体吸引子的存在性；后来还研究了受迫弱阻尼MKdV方程的整体吸引子问题、粘性阻尼受迫Ostrovsky方程的整体吸引子、周期边界条件下带粘性项的Fornberg-Whitham方程和一类粘性色散波方程的整体解和整体吸引子存在性问题。
